Hypergraphes de Petersen! Hypergraphes de Moore?

On &die ici des sous structures des plan projectifs finis Pg(2, n) od n est impair. Dans ceux-ci les (n + I)-arcs induisent une decomposition canonique. Soit E l’ensemble des points, D celui des droites, appelons X l’ensemble des points d’un (n + l)-arc. On obtient alors une partition de D en considerant F I’ensemble des droites rencontrant X en deux points, X’ I’ensemble de celles qui le rencontrent en un point et L=(D\F)\X’. Ce dernier ensemble est compose des droites ne rencontrant pas X. De facon similaire l’ensemble des points se partitionne alors en X I’ensemble des points contenus dans une seule droite de X’, F’ l’ensemble des points qui sont contenus dam deux droites de X’ et L’ celui des points contenus dans aucune droite de X’. Les structures (X, F) et (X’, F’) sont isomorphes au graphe complet Kn+, Lorsque n = 5, (L, F’) et (L’, F) sont deux graphes isomorphes au graphe de Petersen (On trouve d’ailleurs aussi le graphe de Petersen comme sous structure de Pg(2, 4)) Lorsque n > 5 il est done nature1 de considerer ces structures comme des generalisations du graphe de Petersen. Ce sont alors des hypergraphes (n I )/2-uniformes, (n + 1)/2-reguliers. Dans ce papier on donne une methode de description de ces hypergraphes qui apparaissent alors, ainsi que le graphe de Petersen, comme un couplage parfait complete par (nI)/2 n-ensembles d’aretes. Comme dans le graphe de Petersen ces n-ensembles d’aretes induisent une partition des sommets en (n1);2 ‘couches’ telles que chaque arete du couplage parfait initial a un sommet dans chaque couche. Les constructions proposees sont simplement d&rites, et non pro&es. Elles nous paraissent tout a fait gtnerales; pour certaines d’entre elles la preuve de cette generalite n’est pas tout a fait evidente.